• 初三數學(有關一元二次方程的)

    解:

    1.
    (1) a2+b2+c2=251 (a,b,c均為奇數)
    ==> a=1,b=5,c=15
    (2) a+b=17 且 a2+b2=169
    ==> a=12,b=5
    即三角形最短邊為5

    2.設每輪感染中平均一臺電腦可感染x臺電腦,則有
    (1+x)2=81
    ==> x=8 或 x=-9(舍去)
    ==> 三輪感染后,被感染的電腦數為 81*(1+8)=729
    即三輪感染后,被感染的電腦數會超過700臺。

    怎樣解一元二次方程

    1..配方法(可解部分一元二次方程)


      2.公式法(可解部分一元二次方程)


      3.因式分解法(可解部分一元二次方程)


      4.開方法(可解全部一元二次方程)一元二次方程的解法實在不行(你買個卡西歐的fx-500或991的計算器 有解方程的,不過要一般形式)


      一、知識要點:


      一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中數學的一個重點內容,也是今后學習數學的基


      礎,應引起同學們的重視。


      一元二次方程的一般形式為:ax^2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一個未知數,并且未知數的最高次數是2


      的整式方程。


      解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解


      法:1、直接開平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。


      二、方法、例題精講:


      1、直接開平方法:


      直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的


      方程,其解為x=m±√n


      例1.解方程(1)(3x+1)^2=7 (2)9x^2-24x+16=11


      分析:(1)此方程顯然用直接開平方法好做,(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)^2,右邊=11>0,所以


      此方程也可用直接開平方法解。


     ?。?)解:(3x+1)^2=7


      ∴(3x+1)^2=7


      ∴3x+1=±√7(注意不要丟解)


      ∴x= ...


      ∴原方程的解為x1=...,x2= ...


     ?。?)解: 9x^2-24x+16=11


      ∴(3x-4)^2=11


      ∴3x-4=±√11


      ∴x= ...


      ∴原方程的解為x1=...,x2= ...


      2.配方法:用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)


      先將固定數c移到方程右邊:ax^2+bx=-c


      將二次項系數化為1:x^2+x=-


      方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方:x^2+x+( )2=- +( )2


      方程左邊成為一個完全平方式:(x+ )2=


      當b2-4ac≥0時,x+ =±


      ∴x=...(這就是求根公式)


      例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0


      解:將常數項移到方程右邊 3x^2-4x=2


      將二次項系數化為1:x^2-x=


      方程兩邊都加上一次項系數一半的平方:x^2-x+( )^2= +( )^2


      配方:(x-)^2=


      直接開平方得:x-=±


      ∴x=


      ∴原方程的解為x1=,x2= .


      3.公式法:把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式,然后把各項系數a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。


      當b^2-4ac>0時,求根公式為x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a(兩個不相等的實數根)


      當b^2-4ac=0時,求根公式為x1=x2=-b/2a(兩個相等的實數根)


      當b^2-4ac<0時,求根公式為x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a(兩個共軛的虛數根)(初中理解為無實數根)


      例3.用公式法解方程 2x^2-8x=-5


      解:將方程化為一般形式:2x^2-8x+5=0


      ∴a=2, b=-8, c=5


      b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0


      ∴x= = =


      ∴原方程的解為x1=,x2= .


      4.因式分解法:把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓


      兩個一次因式分別等于零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個


      根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。


      例4.用因式分解法解下列方程:


      (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0


      (3) 6x^2+5x-50=0 (選學) (4)x^2-4x+4=0 (選學)


      (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得


      x^2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)


      (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)


      ∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)


      ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。


      (2)解:2x^2+3x=0


      x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)


      ∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)


      ∴x1=0,x2=-是原方程的解。


      注意:有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解。


      (3)解:6x2+5x-50=0


      (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)


      ∴2x-5=0或3x+10=0


      ∴x1=, x2=- 是原方程的解。


      (4)解:x^2-4x+4 =0 (∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法)


      (x-2)(x-2 )=0


      ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。


      小結:


      一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般


      形式,同時應使二次項系數化為正數。


      直接開平方法是最基本的方法。


      公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式


      法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數,而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程


      是否有解。


      配方法是推導公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法


      解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數學方


      法之一,一定要掌握好。(三種重要的數學方法:換元法,配方法,待定系數法)。

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