• 初三一元二次方程30個題目及詳解

    例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
    分析:(1)此方程顯然用直接開平方法好做,(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2,右邊=11>0,所以
    此方程也可用直接開平方法解。
    (1)解:(3x+1)2=7×
    ∴(3x+1)2=5
    ∴3x+1=±(注意不要丟解)
    ∴x=
    ∴原方程的解為x1=,x2=
    (2)解: 9x2-24x+16=11
    ∴(3x-4)2=11
    ∴3x-4=±
    ∴x=
    ∴原方程的解為x1=,x2=
    2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
    先將常數c移到方程右邊:ax2+bx=-c
    將二次項系數化為1:x2+x=-
    方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
    方程左邊成為一個完全平方式:(x+ )2=
    當b2-4ac≥0時,x+ =±
    ∴x=(這就是求根公式)
    例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
    解:將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2
    將二次項系數化為1:x2-x=
    方程兩邊都加上一次項系數一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
    配方:(x-)2=
    直接開平方得:x-=±
    ∴x=
    ∴原方程的解為x1=,x2= .
    3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后計算判別式△=b2-4ac的值,當b2-4ac≥0時,把各項
    系數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
    例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
    解:將方程化為一般形式:2x2-8x+5=0
    ∴a=2, b=-8, c=5
    b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
    ∴x= = =
    ∴原方程的解為x1=,x2= .
    4.因式分解法:把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓
    兩個一次因式分別等于零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個
    根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
    例4.用因式分解法解下列方程:
    (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
    (3) 6x2+5x-50=0 (選學) (4)x2-2( + )x+4=0 (選學)
    (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
    x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)
    (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
    ∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)
    ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
    (2)解:2x2+3x=0
    x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
    ∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)
    ∴x1=0,x2=-是原方程的解。
    注意:有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解。
    (3)解:6x2+5x-50=0
    (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
    ∴2x-5=0或3x+10=0
    ∴x1=, x2=- 是原方程的解。
    (4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法)
    (x-2)(x-2 )=0
    ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
    小結:
    一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般
    形式,同時應使二次項系數化為正數。
    直接開平方法是最基本的方法。
    公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式
    法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數,而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程
    是否有解。
    配方法是推導公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
    解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數學方
    法之一,一定要掌握好。(三種重要的數學方法:換元法,配方法,待定系數法)。
    例5.用適當的方法解下列方程。(選學)
    (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
    (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
    分析:(1)首先應觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算。觀察后發現,方程左邊可用平方差
    公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積。
    (2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
    (3)化成一般形式后利用公式法解。
    (4)把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
    (1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
    [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
    (5x-5)(-x+13)=0
    5x-5=0或-x+13=0
    ∴x1=1,x2=13
    (2)解: x2+(2- )x+ -3=0
    [x-(-3)](x-1)=0
    x-(-3)=0或x-1=0
    ∴x1=-3,x2=1
    (3)解:x2-2 x=-
    x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
    △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
    ∴x=
    ∴x1=,x2=
    (4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
    4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
    [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
    2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
    ∴x1= ,x2=
    例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學)
    分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同類項化成一般形式后再做將會比較繁瑣,仔細觀察題目,我
    們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體,則方程左邊可用十字相乘法分解因式(實際上是運用換元的方
    法)
    解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
    即 (5x-5)(2x-3)=0
    ∴5(x-1)(2x-3)=0
    (x-1)(2x-3)=0
    ∴x-1=0或2x-3=0
    ∴x1=1,x2=是原方程的解。
    例7.用配方法解關于x的一元二次方程x2+px+q=0
    解:x2+px+q=0可變形為
    x2+px=-q (常數項移到方程右邊)
    x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項系數一半的平方)
    (x+)2= (配方)
    當p2-4q≥0時,≥0(必須對p2-4q進行分類討論)
    ∴x=- ±=
    ∴x1= ,x2=
    當p2-4q<0時,<0此時原方程無實根。
    說明:本題是含有字母系數的方程,題目中對p, q沒有附加條件,因此在解題過程中應隨時注意對字母
    取值的要求,必要時進行分類討論。

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