• 如何學好二次函數?

    二次函數
    二次函數與圓的知識一樣,在初中數學占有重要的地位.對二次函數的考查經常跟方程等知識相結合.

    概念與圖像

    重點難點
    (1)能夠根據實際問題,熟練地列出二次函數關系式,并求出函數的自變量的取值范圍.
    (2)理解拋物線的有關概念,會用描點法畫出二次函數y=ax2的圖象,探索掌握二次函數的性質.

    內容提要
    (1)形如y=ax2+bx+c (a、b、、c是常數,a≠0)的函數叫做x的二次函數,a叫做二次函數的系數,b叫做一次項的系數,c叫作常數項.
    (2)當a<O時,拋物線y=ax2開口向上,在對稱軸的左邊,曲線自左向右上升;在對稱軸的右邊,曲線自左向右下降,頂點拋物線上位置最高的點。圖象的這些特點,反映了當a<O時,函數y=ax2的性質;當x<0時,函數值y隨x的增大而增大;與x>O時,函數值y隨x的增大而減小,當x=0時,函數值y=ax2取得最大值,最大值是y=0.
    典型一例
    某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.
    求增種樹的棵數與橙子總產量之間的函數關系.
    解:假設果園增種x棵橙子樹,果園橙子的總產量為y(個),依題意,果園共有(100+x)棵樹,平均每棵樹結(600-5x)個橙子.
    y=(100+x)(600-5x)
    =-5x2+100x+60000.

    圖象性質
    重點難點
    (1)確定函數y=a(x-h)2+k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標,理解函數y=a(x-h)2+k的圖象與函數y=ax2的圖象之間的關系,理解函數y=a(x-h)2+k的性質.
    (2)正確理解函數y=a(x-h)2+k的圖象與函數y=ax2的圖象之間的關系以及函數y=a(x-h)2+k的性質是難點.

    探索求知
    1.你能發現函數y=2(x-1)2+1的圖象有哪些性質嗎?
    函數y=2(x-1)2+1的圖象可以看成是將函數y=2(x-1)2的圖象向上平稱1個單位得到的,也可以看成是將函數y=2x2的圖象向右平移1個單位再向上平移1個單位得到的.
    當x<1時,函數值y隨x的增大而減小,當x>1時,函數值y隨x的增大而增大;當x=1時,函數取得最小值,最小值y=1.
    2.你能說出函數y=-13(x-1)2+2的圖象與函數y=-13x2的圖象的關系,由此進一步說出這個函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎?
    函數y=-13(x-1)2+2的圖象可以看成是將函數y=-13x2的圖象向右平移一個單位再向上平移2個單位得到的,其開口向下,對稱軸為直線x=1,頂點坐標是(1,2)

    描點法

    重點難點
    (1)用描點法畫出二次函數y=ax2+bx+c的圖象;通過配方確定拋物線的對稱軸、頂點坐標.
    (2)理解二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的性質以及它的對稱軸(頂點坐標分別是x=-b2a、(-b2a,4ac-b24a)是難點.
    探索求知
    1.你能說出函數y=-4(x-2)2+1圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎?
    函數y=-4(x-2)2+1圖象的開口向下,對稱軸為直線x=2,頂點坐標是(2,1).
    2.函數y=-4(x-2)2+1圖象與函數y=-4x2的圖象有什么關系?
    函數y=-4(x-2)2+1的圖象可以看成是將函數y=-4x2的圖象向右平移2個單位再向上平移1個單位得到的.
    3.函數y=-4(x-2)2+1具有哪些性質?
    當x<2時,函數值y隨x的增大而增大,當x>2時,函數值y隨x的增大而減??;當x=2時,函數取得最大值,最大值y=1.
    4.不畫出圖象,你能直接說出函數y=-12x2+x-52的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎?
    因為y=-12x2+x-52=-12(x-1)2-2,所以這個函數的圖象開口向下,對稱軸為直線x=1,頂點坐標為(1,-2).

    經典一例
    請畫出函數y=-12x2+x-52的圖象,并說明這個函數具有哪些性質.
    分析:由以上探索求知,大家已經知道函數y=-12x2+x-52的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.根據這些特點,可以采用描點法作圖的方法作出函數y=-12x2+x-52的圖象,進而觀察得到這個函數的性質.
    解:(1)列表:在x的取值范圍內列出函數對應值表;
    x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
    y … -612
    -4 -212
    -2 -212
    -4 -612

    (2)描點:用表格里各組對應值作為點的坐標,在平面直角坐標系中描點.
    (3)連線:用光滑的曲線順次連接各點,得到函數y=-12x2+x-52的圖象.
    說明:(1)列表時,應根據對稱軸是x=1,以1為中心,對稱地選取自變量的值,求出相應的函數值。相應的函數值是相等的.
    (2)直角坐標系中x軸、y軸的長度單位可以任意定,且允許x軸、y軸選取的長度單位不同。所以要根據具體問題,選取適當的長度單位,使畫出的圖象美觀.
    則可得到這個函數的性質如下:
    當x<1時,函數值y隨x的增大而增大;當x>1時,函數值y隨x的增大而減??;
    當x=1時,函數取得最大值,最大值y=-2.

    解決問題

    重點難點
    根據實際問題建立二次函數的數學模型,并確定二次函數自變量的范圍,既是這部分知識的重點也是難點.
    探索求知
    1.通過配方,寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
    (1)y=6x2+12x; (2)y=-4x2+8x-10.
    y=6(x+1)2-6,拋物線的開口向上,對稱軸為x=-1,頂點坐標是(-1,-6);y=-4(x-1)2-6,拋物線開口向下,對稱軸為x=1,頂點坐標是(1,-6).
    2. 以上兩個函數,哪個函數有最大值,哪個函數有最小值?說出兩個函數的最大值、最小值分別是多少?
    函數y=6x2+12x有最小值,最小值y=-6,函數y=-4x2+8x-10有最大值,最大值y=-6.

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